C'est sûr que la question de la cohabitation entre chiens et chats est assez délicate, mais la plupart du temps ça finit par très bien se passer
Surtout que ton chien a déjà eu l'habitude de cotoyer un chat, donc ça facilitera déjà les choses de son côté (surtout qu'il avait l'air d'être assez complice du chat puisqu'il venait lui faire sa toilette

).
Après, concernant l'âge du chat, je dirai que ça n'a pas forcément d'influence sur son adaptation, mais plus il est âgé et mieux vaut qu'il ait déjà connu le contact avec des chiens auparavant, sinon ça risque d'être plus long pour l'adaptation.
Pour l'adaptation en tant que telle, il ne faut pas les brusquer, ils vont s'habituer l'un à l'autre progressivement.
Il faut faire les présentations (si le chat n'a pas peur, c'est possible de le prendre sur tes genoux avec le chien assis à tes pieds et de caresser les 2 en même temps)... mais la plupart du temps, il suffit de les mettre en contact dans la même pièce, et de laisser faire les choses.
Vu que ton chien est déjà là depuis un moment, je pense qu'il doit être un minimum dressé? Du coup il suffit de bien surveiller les présentations, de dire à ton chien d'y aller doucement, réfréner un peu ses ardeurs s'il est trop brusque pour aller vers le chat, etc
Et ce serait bien que le chat ait la possibilité de se réfugier en hauteur pour échapper au chien aussi, et pouvoir l'observer sans danger
Surtout, ne pas les laisser seuls tous les deux les premiers temps, on ne sait jamais. Si vous devez vous absenter dans la journée, mieux vaut les séparer les premiers jours, et ne les laisser en contact que lorsque vous êtes dans la pièce.
Concernant les griffes du chat, je te conseillerai de les lui épointer (c'est-à -dire lui couper la pointe des griffes, avec un coupe-griffes ou même un coupe-ongles), ça évitera les blessures... mais généralement, après un ou deux coups de pattes bien placés par le chat, le chien comprendra qu'il doit respecter le chat
Après ça, ils vont se faire leur place respectivement
(D'ailleurs, c'est souvent les chats qui finissent par faire la loi

)
Après, je ne sais pas ce que les autres en pensent, mais peut-être qu'avant de présenter directement ton chat à ton chien, il vaudrait peut-être mieux l'isoler dans une pièce fermée les premiers jours, le temps qu'il s'habitue déjà à son nouvel environnement (parce que changer de maison, c'est assez bouleversant pour un chat)... Comme ça il pourra déjà prendre quelques repères et se sentir plus en confiance
Pendant ce temps, tu pourras déjà le mettre en présence de certaines affaires du chien pour qu'il s'habitue à son odeur

(et idem pour le chien, en lui faisant sentir des affaires imprégnées de l'odeur du minou)
Une fois que ton minou se sentira plus à l'aise, hop tu passes aux présentations avec ton labrador
